Question

已知函數(shù)f（x）=cos

x

2

(

3

sin

x

2

+cos

x

2

)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）=1，求cos（

2π

3

-2x）的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為sin（x+

π

6

）+

1

2

，由此可得函數(shù)的最小正周期，再令 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得x的范圍，即可求得單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由函數(shù)f（x）=1求得sin（x+

π

6

）=

1

2

，再由cos（

2π

3

-2x）=cos2（

π

3

-x） 利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式求得結(jié)果．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=cos

x

2

(

3

sin

x

2

+cos

x

2

)=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin（x+

π

6

）+

1

2

，---（3分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為T=2π．-------（4分）
令 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得2kπ-

2π

3

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

3

，k∈z．
故函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈z．-----------（6分）
（2）函數(shù)f（x）=sin（x+

π

6

）+

1

2

=1，即  sin（x+

π

6

）=

1

2

，--------（7分）
故 cos（

2π

3

-2x）=cos2（

π

3

-x）═2cos²（

π

3

-x）-1=2sin2(x+

π

6

)-1=-

1

2

． （12分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．