Question

19．函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 沒有交點(diǎn)
• B． 一個(gè)交點(diǎn)
• C． 兩個(gè)交點(diǎn)
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，互為反函數(shù)的性質(zhì)即可得出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：函數(shù)y=a^x與y=log_ax關(guān)于y=x對稱，
①指數(shù)函數(shù)y=a^x的圖象與直線y=x相切時(shí)，此時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{xlnx}$，x=$\frac{1}{lna}$，f（x）=${a}^{\frac{1}{lna}}$，
由$\frac{{a}^{\frac{1}{lna}}-0}{\frac{1}{lna}-0}$=1，解得a=${e}^{\frac{1}{e}}$．f（x）=a^x與g（x）=log_ax僅有一個(gè)交點(diǎn)．
②$a＞{e}^{\frac{1}{e}}$，指數(shù)函數(shù)y=a^x的圖象與直線y=x無交點(diǎn)，因此函數(shù)y=a^x的圖象和函數(shù) y=log_ax圖象無交點(diǎn)．
③$1＜a＜{e}^{\frac{1}{e}}$時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=a^x的圖象與直線y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)y=a^x的圖象和函數(shù) y=log_ax圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
綜上：函數(shù)f（x）=a^x與g（x）=log_ax（a＞1）的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)與a的取值有關(guān)系．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，互為反函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．