Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（2）=0，x＞0時(shí)，$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，則不等式xf（x）＜0的解集（-2，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∵x＞0時(shí)，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
∵f（-x）=f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-g（x），
g（x）在（-∞，0）遞減，
∴g（x）是奇函數(shù)，
g（2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
∴0＜x＜2時(shí)，g（x）＞0，x＞2時(shí)，g（x）＜0，
根據(jù)函數(shù)的奇偶性，-2＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，x＜-2時(shí)，g（x）＞0，
xf（x）＜0，即x²g（x）＜0，即g（x）＜0，
∴x＞2或-2＜x＜0，
故答案為：（-2，0）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．