Question

【題目】在等差數(shù)列中，，．令，數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）是否存在正整數(shù)，（）,使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得首項(xiàng)的值，則易求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）利用裂項(xiàng)法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，則易求得；

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到，從而求得符合條件的的值.

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由得,

解得，

（2），

.

（3）由（2）知，，，，

假設(shè)存在正整數(shù)、 ，使得、、成等比數(shù)列，

則 ， 即 ,經(jīng)化簡，得

, （*）

當(dāng)時(shí)，（*）式可化為 ，所以

當(dāng)時(shí)，

又，（*）式可化為 ，所以此時(shí)無正整數(shù)解.

綜上可知，存在滿足條件的正整數(shù)、，此時(shí)，.