Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 向量 =（Sn ， 1）， =（2n﹣1， ），滿足條件 ∥ ，
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（ ）x ， 數(shù)列{bn}滿足條件b1=1，f（bn+1）= ．
①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，
②設(shè)cn= ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由向量 =（Sn，1）， =（2n﹣1， ）， ∥ ，

可得 Sn=2n﹣1，即Sn=2n+1﹣2，

當(dāng)n＞1時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）=2n，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2，滿足上式．

則有數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n，n∈N*

（2）解：①f（x）=（ ）x，b1=1，f（bn+1）= ．

可得 = =（ ） ，

即有bn+1=bn+1，可得{bn}為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，

即有bn=n；

②Cn= = ，前n項(xiàng)和Tn=1 +2（ ）2+…+（n﹣1）（ ）n﹣1+n（ ）n，

Tn=1（ ）2+2（ ）3+…+（n﹣1）（ ）n+n（ ）n+1，

相減可得， Tn= +（ ）2+…+（ ）n﹣1+（ ）n﹣n（ ）n+1

= ﹣n（ ）n+1，

化簡(jiǎn)可得，前n項(xiàng)和Tn=2﹣

【解析】（1）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，可得Sn=2n+1﹣2，再由當(dāng)n＞1時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， n=1時(shí)，a1=S1 ， 即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）①運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等差數(shù)列的定義，即可得到所求通項(xiàng)公式；②求得Cn= = ，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．