已知直角△OAB的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A、B在拋物線y2=2px(p>0)上,原點(diǎn)在直線AB上的射影為點(diǎn)D(2,1),求拋物線的方程.
分析:依題意,可求得直線AB的方程,與拋物線y2=2px聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可求得p.
解答:解:∵原點(diǎn)在直線AB上的射影為點(diǎn)D(2,1),
∴直線AB的斜率為kAB=-2,
∴線AB的方程lAB:y-1=-2(x-2),
整理得:2x+y-5=0…(4分)
將2x=5-y代入y2=2px(p>0)
得y2+py-5p=0,…(6分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程y2+py-5p=0的兩根.
∵OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0,…(8分)
∴y1y2-(y1+y2)+5=0,
∴-5p+p+5=0,
∴p=
5
4
,
∴y2=
5
2
x…(12分)
點(diǎn)評:本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系與韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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