(本小題14分)如圖,在平面直角坐標系xoy中,設點F(0, p)(p>0), 直線l : y= -p, 點P在直線l上移動,R是線段PF與x軸的交點, 過R、P分別作直線、,使, .
(1) 求動點的軌跡的方程;
(2)在直線上任取一點做曲線的兩條切線,設切點為、,求證:直線恒過一定點.

解:(1) .(2)見解析.

解析試題分析:(Ⅰ)先判斷RQ是線段FP的垂直平分線,從而可得動點Q的軌跡C是以F為焦點,l為準線的拋物線;
(Ⅱ)設M(m,-p),兩切點為A(x1,y1),B(x2,y2),求出切線方程,從而可得x1,x2為方程x2-2mx-4p2=0的兩根,進一步可得直線AB的方程,即可得到直線恒過定點(0,p);
解:(1)依題意知,點是線段的中點,且,

是線段的垂直平分線. ∴
故動點的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線,
其方程為:
(2)設,兩切點為 
∴兩條切線方程為xx=2p(y+y)    ① 
xx=2p(y+y)   ②
對于方程①,代入點, 又, 整理得:, 同理對方程②有, 即為方程的兩根.
  ③
設直線的斜率為,
所以直線的方程為,展開得:,代入③得:,  ∴直線恒過定點.
考點:本題主要考查了拋物線的定義,考查直線恒過定點,考查直線的向量,,屬于中檔題.
點評:解決該試題的關(guān)鍵是正確運用圓錐曲線的定義和韋達定理,來表示根與系數(shù)的關(guān)系的運用。

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

求滿足下列條件的直線方程:
(1)經(jīng)過兩條直線的交點,且平行于直線;
(2)經(jīng)過兩條直線的交點,且垂直于直線.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本題滿分16分)已知直線
(1)求證:不論實數(shù)取何值,直線總經(jīng)過一定點.
(2)為使直線不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)的取值范圍.
(3)若直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小,求的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分10分)
如圖,已知三角形的頂點為A(2, 4),B(0,-2),C(-2,3),

求:
(Ⅰ)AB邊上的中線CM所在直線的一般方程;
(Ⅱ)求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(12分)直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3,分別求滿足下列條件的直線的方程.
(1)過定點.
(2)與直線垂直.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本題滿分12分)在中,已知BC邊上的高所在直線的方程為, 平分線所在直線的方程為,若點B的坐標為(1,2),

(Ⅰ)求直線BC的方程;
(Ⅱ)求點C的坐標。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知直線的方程為, 求直線的方程, 使得:
(1) 平行, 且過點(-1,3) ;
(2) 垂直, 且與兩軸圍成的三角形面積為4.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知函數(shù)在點x=1處的切線與直線垂直,且f(-1)=0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

求經(jīng)過直線的交點且平行于直線的直線方程. (8分)

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