Question

將Rt△ABC沿直角的角平分線CD折成直二面角（平面ACD⊥平面BCD），則∠ACB的度數(shù)是（　�。�

A．90°

B．60°

C．45°

D．由直角邊的長(zhǎng)短決定

Answer 1

分析：過B作BE⊥CD，由題意得到BE⊥平面ACD，進(jìn)而得到AE與BE垂直，要求出AB的長(zhǎng)，即要求出BE與AE的長(zhǎng)，利用勾股定理解決，在三角形BCE中，由∠BCE=45°得到此三角形為等腰直角三角形，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)；在直角三角形ACE中，利用余弦定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出AB的長(zhǎng)，在三角形ABC中，利用余弦定理列出關(guān)系式，求出cos∠ACB的值，由∠ACB為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出∠ACB的度數(shù)．

解答：解：過B作BE⊥CD，由題意得到BE⊥平面ACD，
∴BE⊥AE，連接AB，可得△ABE為直角三角形，
∵折疊前，CD為∠ACB的角平分線，
∴∠BCE=∠ACE=45°，
設(shè)AC=b，BC=a，在△BCE中，BE=CE=

2

2

a，
在△ACE中，由余弦定理得：AE²=b²+（

2

2

a）²-2b•

2

2

a•cos45°=

1

2

a²+b²-ab，
根據(jù)勾股定理得：AB²=BE²+AE²=a²+b²-ab，
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=a²+b²-2abcos∠ACB=a²+b²-ab，
∴cos∠ACB=

1

2

，∠ACB為銳角，
則∠ACB=60°．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，勾股定理，以及直二面角，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．