Question

6．已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{a_n}中，a₃與a₂₀₁₅的等比中項(xiàng)為2$\sqrt{2}$，則2a₄+a₂₀₁₄的最小值為8．

Answer 1

分析 由已知求出a₁₀₀₉=2$\sqrt{2}$，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得2a₄+a₂₀₁₄=$\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}$+${a}_{1009}•{q}^{1005}$，由此能求出2a₄+a₂₀₁₄的最小值．

解答 解：∵各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{a_n}中，a₃與a₂₀₁₅的等比中項(xiàng)為2$\sqrt{2}$，
∴a₃•a₂₀₁₅=${{a}_{1009}}^{2}$=（2$\sqrt{2}$）²=8，∴a₁₀₀₉=2$\sqrt{2}$，
2a₄+a₂₀₁₄=$\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}$+${a}_{1009}•{q}^{1005}$≥2$\sqrt{\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}×{a}_{1009}•{q}^{1005}}$=2$\sqrt{2}$a₁₀₀₉=2$\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=8．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2{a}_{1009}}{{q}^{1005}}={a}_{1009}•{q}^{1005}$時(shí)，取等號(hào)，
∴2a₄+a₂₀₁₄的最小值為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的兩項(xiàng)和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．