Question

【題目】設(shè)．

（1）求證：在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；

（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得在上是增函數(shù)，可得，由此得到結(jié)論；

（2）解法一：利用放縮的方式可知，則只需即可；利用導(dǎo)數(shù)可證得，由時(shí)，可確定此時(shí)滿足題意；由時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得任意，均有，可知存在，不滿足題意；

解法二：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)性，由此可確定符合題意.

（1），則，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，即為增函數(shù)，，在上是增函數(shù)，，

在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；

（2）解法一：由（1）知：當(dāng)時(shí)，，，

，

設(shè)，則，

設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，

在上為增函數(shù)，，即，

在上為增函數(shù)，，即，

所以對(duì)任意的恒成立．

又，時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，

，所以存在實(shí)數(shù)，使得任意，均有，

所以在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即，時(shí)不符合題意；

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為．

解法二：等價(jià)于

設(shè)，則，

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

，

所以當(dāng)時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)，

所以，即，即

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立．

當(dāng)時(shí)，，存在，當(dāng)時(shí)，，

在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，

即，不符合題意，故不滿足題意，

綜上所述，的取值范圍是．