已知函數(shù)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）試用函數(shù)單調(diào)性定義說(shuō)明函數(shù)在區(qū)間和上的增減性；
（3）若滿足：，試證明：．

（1）偶函數(shù)，（2）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）判定函數(shù)奇偶性，首先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再判斷與的相等或相反關(guān)系.本題定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.函數(shù)為分段函數(shù)，需分類討論. 當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，.故為偶函數(shù).（2）利用定義研究函數(shù)單調(diào)性，需注重作差后的變形，關(guān)鍵是提取公因式，進(jìn)行因式分解，以便判斷符號(hào).（3）由于是同區(qū)間的兩個(gè)任意數(shù)，所以只需證，從而本題實(shí)質(zhì)為求函數(shù)最值.由函數(shù)奇偶性及單調(diào)性知：
，所以成立.
試題解析：解：（1）∵當(dāng)時(shí)，，∴
∴       2分
∵當(dāng)時(shí)，，∴
∴      4分
∴對(duì)都有，故為偶函數(shù)           5分
（2）當(dāng)時(shí)，
設(shè)且，則     7分
∴當(dāng)時(shí)，即
當(dāng)時(shí)，即        9分
∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)   11分
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)：
若，則即
若，則即
∴當(dāng)時(shí)，有                                   12分
又由（1）可知為偶函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，有      13分
∴若，時(shí)，則，          14分
∴，即          15分
考點(diǎn)：分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知（）
（1）若方程有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足，若存在，求實(shí)數(shù)的值，若不存在，說(shuō)明理由．

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已知函數(shù)，，．
（1）若，試判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求證函數(shù)存在反函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓(a>b>0)的左焦為F,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)F,B,A三點(diǎn)的圓的圓心為(p,q).
(1).當(dāng)p+q≤0時(shí),求橢圓的離心率的取值范圍;
(2).若D(b+1,0),在(1)的條件下,當(dāng)橢圓的離心率最小時(shí),的最小值為,求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

函數(shù).
（1）令，求的解析式；
（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

判斷下列對(duì)應(yīng)是否是從集合A到集合B的函數(shù)．
(1) A＝B＝N*，對(duì)應(yīng)法則f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；
(2) A＝[0，＋∞)，B＝R，對(duì)應(yīng)法則f：x→y，這里y2＝x，x∈A，y∈B；
(3) A＝[1，8]，B＝[1，3]，對(duì)應(yīng)法則f：x→y，這里y3＝x，x∈A，y∈B；
(4) A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，對(duì)應(yīng)法則：對(duì)任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z∈B.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)對(duì)任意的恒有成立.
(1)記如果為奇函數(shù)，求b，c滿足的條件；
(2)當(dāng)b=0時(shí)，記若在）上為增函數(shù)，求c的取值范圍；
(3)證明：當(dāng)時(shí)，成立；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

函數(shù)f(x)＝2x2－2ax＋3在區(qū)間[－1，1]上最小值記為g(a)．
(1)求g(a)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求g(a)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-.
(1)求證:f(x)在R上是減函數(shù).
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

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