設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)圖象C關(guān)于原點(diǎn)對稱,且x=1時(shí),f(x)取極小值-
23

(1)求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[-2,3]時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值.
分析:(1)由函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,知對任意實(shí)數(shù)x有f(-x)=-f(x),由此能求出f(x)的解析式.
(2)由f'(x)=x2-1,令f'(x)=0,得x1=-1,x2=1,列表討論,能求出當(dāng)x∈[-2,3]時(shí),函數(shù)f(x)的最大值.
解答:解. (1)∵函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
∴對任意實(shí)數(shù)x有f(-x)=-f(x),
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d,
即bx2-2d=0恒成立∴b=0,d=0,
∴f(x)=ax3+cx,
f'(x)=3ax2+c,
∵x=1時(shí),f(x)取極小值-
2
3
,
3a+c=0且a+c=-
2
3

解得a=
1
3
,c=-1
,
f(x)=
1
3
x3-x

(2)∵f'(x)=x2-1,
令f'(x)=0得x1=-1,x2=1,
列表討論:
x (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,3)
fn(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值
2
3
極小值-
2
3
f(-2)=-
2
3
,f(3)=6,
故當(dāng)x=3時(shí),fmax=6.
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
xx-1
(x>1),若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),b是從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù),求f(x)>b恒成立的概率.

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12
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-1
-1

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精英家教網(wǎng)設(shè)函數(shù)f(x)=(a
x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是(  )
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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