Question

若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱（P，Q）是函數(shù)y=f（x））的一個“伙伴點(diǎn)組”（點(diǎn)組（P，Q）與（Q，P）看作同一個“伙伴點(diǎn)組”）．已知函數(shù)f（x）=

k(x+1)，x＜0 ex，x≥0

（k＞0），有兩個“伙伴點(diǎn)組”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．（注，e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意：要有兩個“伙伴點(diǎn)組”，只要函數(shù)y=k（x+1），x＜0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象與函數(shù)y=e^x，x≥0的圖象有兩個交點(diǎn)，即可．

解答： 解：函數(shù)y=k（x+1），x＜0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為y=k（x-1），x＞0，
令g（x）=e^x-k（x-1），（k＞0，x＞0），
原題轉(zhuǎn)化為只要g（x）有兩個零點(diǎn)，
令g'（x）=e^x-k=0，
∴x=lnk，
∴g（x）在（0，lnk）上遞減，在（lnk，+∞）上遞增，
∴g（lnk）=e^lnk-k（lnk-1）＜0，
∴k＞e²，即k∈（e²，+∞）．
故答案為：（e²，+∞）

點(diǎn)評：本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對“伙伴點(diǎn)組”的正確理解．