Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，若x₂＜f（x₁）＜x₁，則關(guān)于x的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)可能為（　　）

• A． 3，4，5
• B． 4，5，6
• C． 2，4，5
• D． 2，3，4

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，可得f′（x）=3x²+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，必有△=4a²-12b＞0．而方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，可知此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂．再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂根的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=3x²+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4a²-12b＞0．解得x₁=-$\frac{a}{3}$+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3b}}{3}$，x₂=-$\frac{a}{3}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3b}}{3}$，
而方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，
∴此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂
由x₂＜f（x₁）＜x₁，
畫出如圖，由f（x₁）＜x₁，
可知方程f（x）=x₁有3個(gè)根．
方程f（x）=x₂有1個(gè)根，
則原方程共有4個(gè)根．
討論若x₁=f（x₂），即有f（x）=x₁有2個(gè)根，
方程f（x）=x₂有1個(gè)根，
則原方程共有3個(gè)根；
若x₁＞f（x₂），即有f（x）=x₁有1個(gè)根，
方程f（x）=x₂有1個(gè)根，
則原方程共有2個(gè)根．
即有原方程可能有2，3，4個(gè)根．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程根的個(gè)數(shù)、平移變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力、分類討論的思想方法、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．