Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an=2an-1+2n-1（n∈N₊，且n≥2），a₄=81．
（1）求數(shù)列的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃；
（2）數(shù)列{

an+p

2n

}為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)p的值；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件直接求出a₃，然后求出a₂，a₁．
（2）通過數(shù)列{

an+p

2n

}為等差數(shù)列，按照等差數(shù)列的定義，公差是常數(shù)，直接求解p的值．
（3）利用（2）求出通項(xiàng)公式，然后通過錯位相減法求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）由an=2an-1+2n-1（n∈N₊，且n≥2）得a4=2a3+24-1=81，得a₃=33
同理，得a₂=13，a₁=5…（4分）
（2）對于n∈N，且n≥2，
∵

an+p

2n

-

an-1+p

2n-1

=

an-2an-1-p

2n

=

2n-1-p

2n

=1-

1+p

2n

又?jǐn)?shù)列{

an+p

2n

}為等差數(shù)列，∴

an+p

2n

-

an-1+p

2n-1

是與n無關(guān)的常數(shù)，
∴1+p=0，p=-1…（8分）
（3）由（2）知，等差數(shù)列{

an+p

2n

}的公差為1，
∴

an-1

2n

=

a1-1

2

+(n-1)=n+1，得an=(n+1)•2n+1．…（9分）
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ+n，
記Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n，則有2Tn=+2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1，
兩式相減，得 Tn=n×2n+1，
故  Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1)．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的定義判斷等差數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的常用方法--錯位相減法，考查計(jì)算能力．