【題目】如圖,已知圓心坐標(biāo)為( ,1)的圓M與x軸及直線y= x分別相切于A,B兩點(diǎn),另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y= x分別相切于C、D兩點(diǎn).
(1)求圓M和圓N的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)B作直線MN的平行線l,求直線l被圓N截得的弦的長(zhǎng)度.

【答案】
(1)解:由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切,故M到OA及OB的距離均為⊙M的半

徑,則M在∠BOA的平分線上,

同理,N也在∠BOA的平分線上,即O,M,N三點(diǎn)共線,且OMN為∠BOA

的平分線,

∵M(jìn)的坐標(biāo)為( ,1),∴M到x軸的距離為1,即⊙M的半徑為1,

則⊙M的方程為 ,

設(shè)⊙N的半徑為r,其與x軸的切點(diǎn)為C,連接MA,NC,

由Rt△OAM∽R(shí)t△OCN可知,OM:ON=MA:NC,

得r=3,

則OC=3 ,則⊙N的方程為


(2)解:由對(duì)稱性可知,所求的弦長(zhǎng)等于過(guò)A點(diǎn)直線MN的平行線被⊙N截得的弦的長(zhǎng)度,

此弦的方程是 ,即:x﹣ =0,

圓心N到該直線的距離d= ,則弦長(zhǎng)=2


【解析】(1)圓M的圓心已知,且其與x軸及直線y= x分別相切于A,B兩點(diǎn),故半徑易知,另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y= x分別相切于C、D兩點(diǎn),由相似性易得其圓心坐標(biāo)與半徑,依定義寫出兩圓的方程即可.(2)本題研究的是直線與圓相交的問(wèn)題,由于B點(diǎn)位置不特殊,故可以由對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為求過(guò)A點(diǎn)且與線MN平行的線被圓截得弦的長(zhǎng)度,下易解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各6名同學(xué),測(cè)量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖,則甲班樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和乙班樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是(

A.170,170
B.171,171
C.171,170
D.170,172

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知命題p:“ =1是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”,命題q:“不等式組 所表示的區(qū)域是三角形”.若p∨q為真命題,p∧q為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,上、下頂點(diǎn)分別為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, ,四邊形的面積是四邊形的面積的2倍.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓兩點(diǎn), 是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點(diǎn).若,求證:直線的斜率為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1 , 底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).

(1)求 的長(zhǎng);
(2)求cos( )的值;
(3)求證A1B⊥C1M.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知cosα= ,cos(α+β)=﹣ ,且α,β∈(0, ),則cos(α﹣β)的值等于(
A.﹣
B.
C.﹣
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)直線l的方程是x+my+2 =0,圓O的方程是x2+y2=r2(r>0).
(1)當(dāng)m取一切實(shí)數(shù)時(shí),直線l與圓O都有公共點(diǎn),求r的取值范圍;
(2)r=5時(shí),求直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍;
(3)當(dāng)r=1時(shí),設(shè)圓O與x軸相交于P,Q兩點(diǎn),M是圓O上異于P,Q的任意一點(diǎn),直線PM交直線l′:x=3于點(diǎn)P′,直線QM交直線l′于點(diǎn)Q′.求證:以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知實(shí)數(shù),滿足,實(shí)數(shù),滿足,則的最小值為__________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)時(shí)都取得極值;

(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案