Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓P截直線3x-y=0和3x+y=0所得弦長分別為8，4，則動(dòng)圓圓心P到直線$x+2y+\sqrt{5}=0$的距離的最小值為3．

Answer 1

分析 動(dòng)圓截直線3x-y=0和3x+y=0所得的弦長分別為8，4，利用點(diǎn)到直線的距離公式、垂徑定理可得點(diǎn)P的軌跡方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，可得結(jié)論．

解答 解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)P（x，y），由條件可得，AB=4，EC=2
由點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理可得$\frac{（3x-y）^{2}}{10}$+16=$\frac{（3x+y）^{2}}{10}$+4，化簡可得，xy=10．
∴點(diǎn)P的軌跡方程為xy=10．
動(dòng)圓圓心P到直線$x+2y+\sqrt{5}=0$的距離d=$\frac{|x+2y+\sqrt{5}|}{\sqrt{5}}$≥3，
∴動(dòng)圓圓心P到直線$x+2y+\sqrt{5}=0$的距離的最小值為3，
故答案為3．

點(diǎn)評 本題以直線與圓相交為載體，考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是利用圓的特殊性，借助于垂徑定理求解．