Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2（a-2）x+5．
（1）若函數(shù)f（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；  
（2）若f（-1）=8，求函數(shù)f（x）在[0，3]上的最值，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）對(duì)稱軸x=2-a，開口向上，只需2-a≤4即可，從而求出a的范圍，（2）先由f（-1）=8求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+2（a-2）x+5，
∴對(duì)稱軸x=2-a，開口向上，
若函數(shù)f（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，
只需2-a≤4即可，解得：a≥-2；
（2）∵f（-1）=8，
∴1-2（a-2）+5=8，解得：a=1，
∴f（x）=x²-2x+5=（x-1）²+4，
∴在[0，3]上，f（x）在[0，1）遞減，在（1，3]遞增，
∴在[0，3]上，f（x）_min=f（1）=4，f（x）_max=f（3）=8，
∵對(duì)稱軸x=1，∴f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題，是一道基礎(chǔ)題．