Question

已知兩個(gè)正數(shù)a，b，可按規(guī)則c=an+a+b擴(kuò)充為一個(gè)新數(shù)c，在a，b，c三個(gè)數(shù)中取兩個(gè)較大的數(shù)，按上述規(guī)則再擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)，依次下去，將每擴(kuò)充一次得到一個(gè)新數(shù)稱(chēng)為一次操作，若p＞q＞0，對(duì)數(shù)p和數(shù)q經(jīng)過(guò)10次操作后，擴(kuò)充所得的數(shù)為（p+1）^m（q+1）ⁿ-1，其中m，n是正整數(shù)，則m+n的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類(lèi)比推理

專(zhuān)題：計(jì)算題,推理和證明

分析：p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1；第二次得：c₂=（p+1）²（q+1）-1；所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，故經(jīng)過(guò)10次擴(kuò)充，所得數(shù)為：（q+1）⁵⁵（p+1）⁸⁹-1，故可得結(jié)論．

解答： 解：因?yàn)閜＞q＞0，所以第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，
因?yàn)閏＞p＞q，所以第二次得：c₂=（c₁+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）²（q+1）-1，
所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，所以第三次可得c₃=（c₂+1）（c₁+1）-1=（p+1）³（q+1）²-1，
第四次可得：c₄=（c₃+1）（c₂-1）-1=（p+1）⁵（q+1）³-1，
故經(jīng)過(guò)10次擴(kuò)充，所得數(shù)為：（q+1）⁵⁵（p+1）⁸⁹-1，
因?yàn)榻?jīng)過(guò)6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)為（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n為正整數(shù)），
所以m=55，n=89，
所以m+n=144．
故答案為：144

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，求出經(jīng)過(guò)6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)是關(guān)鍵．