【題目】若過點可作曲線的切線恰有兩條,則的最小值為__________

【答案】

【解析】

求出f(x)的導(dǎo)數(shù),設(shè)切點(x0,f(x0)),求得切線的方程,代入切點,整理化簡可得2x03﹣(3+3a)x02+6ax0+b=0(*)由條件切線恰有兩條,方程(*)恰有兩根.令u(x)=2x3﹣(3+3a)x2+6ax+b,求出導(dǎo)數(shù),求得極值點,令其中一個極值為0,可得3a+b=1,運用乘1法和基本不等式,計算即可得到所求最小值.

f′(x)=3x2﹣6x,

過點P(a,b)作曲線的切線,

設(shè)切點(x0,f(x0)),則切線方程為:y﹣b=(3x02﹣6x0)(x﹣a),

將(x0,f(x0))代入得:f(x0)=(3x02﹣6x0)(x0﹣a)+b=x03﹣3x02,

2x03﹣(3+3a)x02+6ax0+b=0(*)

由條件切線恰有兩條,方程(*)恰有兩根.

u(x)=2x3﹣(3+3a)x2+6ax+b,u′(x)=6x2﹣(6+6a)x+6a=6(x﹣a)(x﹣1),

可得u(1)=0u(a)=0,

即有3a+b=1b=a3﹣3a2(舍去),

=(3a+b)()=4++≥4+2=4+2,

當(dāng)且僅當(dāng)b=a=時,取得等號.

即有的最小值為4+2,

故答案為:4+2

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生假期參與志愿服務(wù)活動的情況,隨機調(diào)查了名男生,名女生,得到他們一周參與志愿服務(wù)活動時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如右表(單位:人):

超過小時

不超過小時

1)能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參與志愿服務(wù)活動時間是否超過小時與性別有關(guān)?

(2)以這名學(xué)生參與志愿服務(wù)活動時間超過小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率,現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機抽查名學(xué)生,試估計這名學(xué)生中一周參與志愿服務(wù)活動時間超過小時的人數(shù).

附:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機構(gòu)進行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析,從而得到表(單位:人)

經(jīng)常網(wǎng)購

偶爾或不用網(wǎng)購

合計

男性

50

100

女性

70

100

合計

(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?

(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;

②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差.

參考公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.

(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)函數(shù),證明時, .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線上一點到其焦點的距離為5.

1)求的值;

2)設(shè)動直線與拋物線相交于,兩點,問:在軸上是否存在與的取值無關(guān)的定點,使得?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)若存在最大值,證明:

2)函數(shù),且只有一個極值點,求的取值范圍,并證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x﹣a)2+4.

(1)若f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;

(2)若x≥0,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).

)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;

)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,求的取值范圍

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中.

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若,記函數(shù)的兩個極值點為,(其中),求的最大值.

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