Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）探究函數(shù)在區(qū)間上的最大值（直接寫出結(jié)果，不需給出演算步驟）．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上的最大值為0.

【解析】

試題（1）方程，即，變形得，

顯然，已是該方程的根，從而欲使原方程只有一解，

即要求方程有且僅有一個(gè)等于1的解或無(wú)解，

結(jié)合圖形得. ……4分

（2）不等式對(duì)恒成立，即（*）對(duì)恒成立，

①當(dāng)時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)，（*）可變形為，令

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，故此時(shí).

綜合①②，得所求實(shí)數(shù)的取值范圍是. ……8分

（3）因?yàn)?/span>=……10分

①當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在上遞減，在上遞增，

且，經(jīng)比較，此時(shí)在上的最大值為.

②當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在，上遞減，

在，上遞增，且，，

經(jīng)比較，知此時(shí)在上的最大值為.

③當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在，上遞減，

在，上遞增，且，，

經(jīng)比較，知此時(shí)在上的最大值為.

④當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在，上遞減，

在，上遞增，且,，

經(jīng)比較，知此時(shí)在上的最大值為.

當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在上遞減，在上遞增，

故此時(shí)在上的最大值為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；

當(dāng)時(shí)，在上的最大值為0. ……15分