Question

函數(shù)f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時，總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)；
②若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若f（x）為單函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0無解；
④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中的真命題是

 

 （寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：從給的條件可以看出，單函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y間是一一對應(yīng)的關(guān)系，據(jù)此判斷：
①舉個反例可說明其不是單函數(shù)，如令f（x）=1，得x=±1，故①假；
②考慮其逆否命題就是單函數(shù)的定義，所以②真；
③舉反例，如y=x³，其導(dǎo)函數(shù)在x=0處導(dǎo)數(shù)為0；
④只有嚴(yán)格單調(diào)遞增或遞減時，才能符合題意是單函數(shù)，故④假．

解答： 解：對于①，當(dāng)f（x）=1時，解得x=±1，不滿足單函數(shù)定義，故①假；
對于②，該命題的逆否命題就是單函數(shù)的定義，故②真；
對于③，舉例：函數(shù)y=x³的導(dǎo)數(shù)在x=0時為0，故③為假；
對于④，只有在定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的函數(shù)才是單函數(shù)，故④假．
故答案為②．

點評：此題考查了函數(shù)的單調(diào)性與單函數(shù)間的關(guān)系，注意理解單調(diào)函數(shù)的定義：如函數(shù)定義域為[0，2]，但該函數(shù)在[0，1]為常函數(shù)0，在（1，2]上是y=x上一段，此時我們也稱該函數(shù)為定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)．