【題目】在平面直角坐標系中,曲線(為參數(shù)),將曲線上的所有點的橫坐標保持不變,縱坐標縮短為原來的后得到曲線;以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線和直線的直角坐標方程;
(2)已知,設直線與曲線交于不同的、兩點,求的值.
【答案】(1),;(2).
【解析】
(1)利用兩角差的正弦公式將直線的極坐標方程變形為,由此可將直線的極坐標方程化為直角坐標方程,利用伸縮變換可得出曲線的參數(shù)方程,消參后可得出曲線的直角坐標方程;
(2)可知點在直線上,且該直線的傾斜角為,可得出直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),然后將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標方程聯(lián)立,得到關于的一元二次方程,利用韋達定理可求出.
(1)直線的極坐標方程為,化簡得,
化為直角坐標方程為.
將曲線(為參數(shù))上的所有點的橫坐標保持不變,縱坐標縮短為原來的后得到曲線,則曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
消參后得,
因此,曲線的直角坐標方程為;
(2)由題意知在直線上,又直線的傾斜角為,
所以直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
設、對應的參數(shù)分別為、,
將直線的參數(shù)方程代入中,得.
因為在內(nèi),所以恒成立,由韋達定理得,
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校將一次測試中高三年級學生的數(shù)學成績統(tǒng)計如下表所示,在參加測試的學生中任取1人,其成績不低于120分的概率為.
分數(shù) | |||||||
頻數(shù) | 40 | 50 | 70 | 60 | 80 | 50 |
(1)求的值;
(2)若按照分層抽樣的方法從成績在、的學生中抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人進行錯題分析,求這2人中至少有1人的分數(shù)在的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某服裝加工廠為了提高市場競爭力,對其中一臺生產(chǎn)設備提出了甲、乙兩個改進方案:甲方案是引進一臺新的生產(chǎn)設備,需一次性投資1000萬元,年生產(chǎn)能力為30萬件;乙方案是將原來的設備進行升級改造,需一次性投入700萬元,年生產(chǎn)能力為20萬件.根據(jù)市場調(diào)查與預測,該產(chǎn)品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示,無論是引進新生產(chǎn)設備還是改造原有的生產(chǎn)設備,設備的使用年限均為6年,該產(chǎn)品的銷售利潤為15元/件(不含一次性設備改進投資費用).
(1)根據(jù)年銷售量的頻率分布直方圖,估算年銷量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)將年銷售量落入各組的頻率視為概率,各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點值作年銷量的估計值,并假設每年的銷售量相互獨立.
①根據(jù)頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率:
②若以該生產(chǎn)設備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據(jù),試判斷該服裝廠應選擇哪個方案.(6年的凈利潤=6年銷售利潤-設備改進投資費用)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某購物商場分別推出支付寶和微信“掃碼支付”購物活動,活動設置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用“掃碼支付”.現(xiàn)統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每天使用掃碼支付的人次,用表示活動推出的天數(shù),表示每天使用掃碼支付的人次,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)根據(jù)散點圖判斷,在推廣期內(nèi),掃碼支付的人次關于活動推出天數(shù)的回歸方程適合用來表示,求出該回歸方程,并預測活動推出第天使用掃碼支付的人次;
(2)推廣期結束后,商場對顧客的支付方式進行統(tǒng)計,結果如下表:
支付方式 | 現(xiàn)金 | 會員卡 | 掃碼 |
比例 |
商場規(guī)定:使用現(xiàn)金支付的顧客無優(yōu)惠,使用會員卡支付的顧客享受折優(yōu)惠,掃碼支付的顧客隨機優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計結果得知,使用掃碼支付的顧客,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為,享受折優(yōu)惠的概率為.現(xiàn)有一名顧客購買了元的商品,根據(jù)所給數(shù)據(jù)用事件發(fā)生的頻率來估計相應事件發(fā)生的概率,估計該顧客支付的平均費用是多少?
參考數(shù)據(jù):設,,,
參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓,圓,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設不經(jīng)過點的直線l與曲線C相交于A,B兩點,直線QA與直線QB的斜率均存在且斜率之和為-2,證明:直線l過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】3個紅球與3個黑球隨機排成一行,從左到右依次在球上標記1,2,3,4,5,6,則紅球上的數(shù)字之和小于黑球上的數(shù)字之和的概率為( )
A.B.
C.D.
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