分析 (Ⅰ)取CD 中點(diǎn)N,連結(jié)MN、FN,推導(dǎo)出四邊形EFND為平行四邊形.從而FN∥ED.進(jìn)而FN∥平面BDE,由此能證明平面MFN∥平面BDE,從而FM∥平面BDE.
(Ⅱ)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)EO,BO.以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB,OE為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用向量法能求出直線CF與平面ADE所成角的正弦值.
(Ⅲ)設(shè)G是CF上一點(diǎn),且→CG=λ→CF,λ∈[0,1].利用向量法能求出在棱CF上存在點(diǎn)G使得BG⊥DE,此時(shí)CGCF=49.
解答 (共14分)證明:(Ⅰ)取CD 中點(diǎn)N,連結(jié)MN、FN.
因?yàn)镹,M分別為CD,BC中點(diǎn),所以MN∥BD.
又BD?平面BDE,且MN?平面BDE,所以MN∥平面BDE,
因?yàn)镋F∥AB,AB=2EF,所以EF∥CD,EF=DN.
所以四邊形EFND為平行四邊形.所以FN∥ED.
又ED?平面BDE且FN?平面BDE,
所以FN∥平面BDE,…(2分)
又FN∩MN=N,所以平面MFN∥平面BDE. …(3分)
又FM?平面MFN,所以FM∥平面BDE. …(4分)
解:(Ⅱ)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)EO,BO.
因?yàn)镋A=ED,所以EO⊥AD.
因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,EO⊥BO.
因?yàn)锳D=AB,∠DAB=60°,所以△ADB為等邊三角形.
因?yàn)镺為AD中點(diǎn),所以AD⊥BO.
因?yàn)镋O,BO,AO兩兩垂直,設(shè)AB=4,
以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB,OE為x,y,z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. …(6分)
由題意得,A(2,0,0),B(0,2√3,0),C(−4,2√3,0),D(-2,0,0),E(0,0,2√3),F(−1,√3,2√3). …(7分)
→CF=(3,−√3,2√3),→DE=(2,0,2√3),→BE=(0,−2√3,2√3).
設(shè)平面BDE的法向量為→n=(x,y,z),
則{n•→BE=0n•→DE=0,即{y−z=0x+√3z=0.,
令z=1,則y=1,x=−√3.所以n=(−√3,1,1). …(9分)
設(shè)直線CF與平面BDE成角為α,sinα=|cos<→CF,n>|=√1010,
所以直線CF與平面ADE所成角的正弦值為√1010. …(10分)
(Ⅲ)設(shè)G是CF上一點(diǎn),且→CG=λ→CF,λ∈[0,1]. …(11分)
因此點(diǎn)G(3λ−4,−√3λ+2√3,2√3λ). …(12分)
→BG=(3λ−4,−√3λ,2√3λ).
由→BG•→DE=0,解得λ=49.
所以在棱CF上存在點(diǎn)G使得BG⊥DE,此時(shí)CGCF=49.…(14分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.
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A. | √10 | B. | 4 | C. | 5 | D. | √15 |
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A. | x=π4 | B. | x=π2 | C. | x=34π | D. | x=π |
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A. | 充分而不必要條件 | B. | 必要而不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | -2 | B. | -4 | C. | -8 | D. | -16 |
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