Question

14．如圖，在幾何體ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FM∥平面BDE；
（Ⅱ）求直線CF與平面BDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱CF上是否存在點(diǎn)G，使BG⊥DE？若存在，求$\frac{CG}{CF}$的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD 中點(diǎn)N，連結(jié)MN、FN，推導(dǎo)出四邊形EFND為平行四邊形．從而FN∥ED．進(jìn)而FN∥平面BDE，由此能證明平面MFN∥平面BDE，從而FM∥平面BDE．
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)EO，BO．以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OE為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出直線CF與平面ADE所成角的正弦值．
（Ⅲ）設(shè)G是CF上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{CG}=λ\overrightarrow{CF}$，λ∈[0，1]．利用向量法能求出在棱CF上存在點(diǎn)G使得BG⊥DE，此時(shí)$\frac{CG}{CF}=\frac{4}{9}$．

解答 （共14分）
證明：（Ⅰ）取CD 中點(diǎn)N，連結(jié)MN、FN．
因?yàn)镹，M分別為CD，BC中點(diǎn)，所以MN∥BD．
又BD?平面BDE，且MN?平面BDE，所以MN∥平面BDE，
因?yàn)镋F∥AB，AB=2EF，所以EF∥CD，EF=DN．
所以四邊形EFND為平行四邊形．所以FN∥ED．
又ED?平面BDE且FN?平面BDE，
所以FN∥平面BDE，…（2分）
又FN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．  …（3分）
又FM?平面MFN，所以FM∥平面BDE．                          …（4分）
解：（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，連結(jié)EO，BO．
因?yàn)镋A=ED，所以EO⊥AD．
因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．
因?yàn)锳D=AB，∠DAB=60°，所以△ADB為等邊三角形．
因?yàn)镺為AD中點(diǎn)，所以AD⊥BO．
因?yàn)镋O，BO，AO兩兩垂直，設(shè)AB=4，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OE為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．                 …（6分）
由題意得，A（2，0，0），$B（0，2\sqrt{3}，0）$，$C（-4，2\sqrt{3}，0）$，D（-2，0，0），$E（0，0，2\sqrt{3}）$，$F（-1，\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．     …（7分）
$\overrightarrow{CF}=（3，-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{DE}=（2，0，2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BE}=（0，-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}n•\overrightarrow{BE}=0\\ n•\overrightarrow{DE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y-z=0\\ x+\sqrt{3}z=0.\end{array}\right.$，
令z=1，則y=1，$x=-\sqrt{3}$．所以$n=（-\sqrt{3}，1，1）$．                            …（9分）
設(shè)直線CF與平面BDE成角為α，$sinα=|cos＜\overrightarrow{CF}，n＞|=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
所以直線CF與平面ADE所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$． …（10分）
（Ⅲ）設(shè)G是CF上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{CG}=λ\overrightarrow{CF}$，λ∈[0，1]．         …（11分）
因此點(diǎn)$G（3λ-4，-\sqrt{3}λ+2\sqrt{3}，2\sqrt{3}λ）$．             …（12分）
$\overrightarrow{BG}=（3λ-4，-\sqrt{3}λ，2\sqrt{3}λ）$．
由$\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{DE}=0$，解得$λ=\frac{4}{9}$．
所以在棱CF上存在點(diǎn)G使得BG⊥DE，此時(shí)$\frac{CG}{CF}=\frac{4}{9}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．