【題目】請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并作答.

ABBC,②FC與平面ABCD所成的角為,③∠ABC

如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,且PAAB2,,PD的中點(diǎn)為F

1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)G,使得AF平面PCG?若存在,指出GAB上的位置并給以證明;若不存在,請(qǐng)說明理由;

2)若_______,求二面角FACD的余弦值.

【答案】1)存在,G是線段AB的中點(diǎn),證明見解析;(2)詳見解析

【解析】

1)設(shè)PC的中點(diǎn)為H,連結(jié)FH,由題意得AGHF為平行四邊形,則AFGH,由此能證明在線段AB上存在中點(diǎn)G,使得AF∥平面PCG

2)選擇①ABBC,推導(dǎo)出ABAD,AP彼此兩兩垂直,以AB,AD,AP分別為x,yz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角FACD的余弦值.選擇②FC與平面ABCD所成的角為,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,取AD的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,CM,則FMPA,且FM1FM⊥平面ABCD,FC與平面ABCD所成角為∠FCM,,推導(dǎo)出AE,AD,AP彼此兩兩垂直,以AEAD、AP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角FACD的余弦值.選擇③∠ABC,推導(dǎo)出PABC,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,推導(dǎo)出 AE,AD,AP彼此兩兩垂直,以AE、ADAP分別為x,yz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角FACD的余弦值.

1)在線段AB上存在中點(diǎn)G,使得AF∥平面PCG

證明如下:如圖所示:

設(shè)PC的中點(diǎn)為H,連結(jié)FH,

因?yàn)?/span>,,

所以

所以四邊形AGHF為平行四邊形,

AFGH,

GH平面PGC,AF平面PGC,

AF∥平面PGC

2)選擇①ABBC

PA⊥平面ABCD,∴PABC,

由題意知ABAD,AP彼此兩兩垂直,

AB,AD,AP分別為x,yz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

PAAB2,

A0,0,0),B20,0),C2,20),D02,0),F0,11),P0,0,2),

0,1,1),(﹣2,﹣11),

設(shè)平面FAC的一個(gè)法向量為x,y,z),

,

y1,得(﹣1,1,﹣1),

平面ACD的一個(gè)法向量為0,0,1),

設(shè)二面角FACD的平面角為θ,

cosθ,

∴二面角FACD的余弦值為

選擇②FC與平面ABCD所成的角為

PA⊥平面ABCD,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,取AD的中點(diǎn)M,連結(jié)FMCM,

FMPA,且FM1,

FM⊥平面ABCD,

FC與平面ABCD所成角為∠FCM,∴,

RtFCM中,CM,

CMAE,∴AE2+BE2AB2,∴BCAE

AE,AD,AP彼此兩兩垂直,

AE、ADAP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

PAAB2,

A 0,0,0),B ,﹣1,0),C,1,0),D0,2,0),E,0,0),F0,11),P0,0,2),

01,1),,0,1),

設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為x,y,z),

,

x,得,﹣3,3),

平面ACD的一個(gè)法向量為:0,0,1),

設(shè)二面角FACD的平面角為θ,

cosθ

∴二面角FACD的余弦值為

選擇③∠ABC

PA⊥平面ABCD,

PABC,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,

∵底面ABCD是菱形,∠ABC60°,∴△ABC是正三角形,

EBC的中點(diǎn),∴BCAE,

AE,ADAP彼此兩兩垂直,

AE、ADAP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

PAAB2,

A 0,0,0),B ,﹣1,0),C,1,0),D020),E0,0),F0,11),P00,2),

01,1),0,1),

設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為xy,z),

,

x,得,﹣33),

平面ACD的法向量00,1),

設(shè)二面角FACD的平面角為θ,

θcosθ

∴二面角FACD的余弦值為

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3)現(xiàn)從月均用水量在,的家庭中,先按照分層抽樣的方法抽取9個(gè)家庭,再?gòu)倪@9家庭中抽取4個(gè)家庭,記這4個(gè)家庭中月均用水量在中的數(shù)量為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)情況(元)

頻數(shù)

300

400

180

60

60

1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,并估計(jì)本市居民此期間網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物的消費(fèi)平均值;

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網(wǎng)購(gòu)不超過4000

網(wǎng)購(gòu)超過4000

總計(jì)

40歲以上

75

100

40歲以下(含40歲)

總計(jì)

200

參考公式和數(shù)據(jù):.(其中為樣本容量)

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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