Question

為了測試某種金屬的熱膨脹性能，將這種金屬的一根細(xì)棒加熱，從100℃開始第一次量細(xì)棒的長度，以后每升高40℃量一次，把依次量得的數(shù)據(jù)所成的數(shù)列{l_n}用圖象表示如圖所示．若該金屬在20℃～500℃之間，熱膨脹性能與溫度成一次函數(shù)關(guān)系，試根據(jù)圖象回答下列問題：
（Ⅰ）第3次量得金屬棒的長度是多少米？此時(shí)金屬棒的溫度是多少？
（Ⅱ）求通項(xiàng)公式l_n；
（Ⅲ）求金屬棒的長度l_n（單位：m）關(guān)于溫度t（單位：℃）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅳ）在30℃的條件下，如果把兩塊這種矩形金屬板平鋪在一個(gè)平面上，這個(gè)平面的最高溫度可達(dá)到500℃，問鋪設(shè)時(shí)兩塊金屬板之間至少要留出多寬的空隙？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)圖象，可知第3次量得金屬棒的長度；利用從100℃開始第一次量細(xì)棒的長度，以后每升高40℃量一次，可得金屬棒的溫度；
（Ⅱ）{l_n}組成以2.001為首項(xiàng)，0.001為公差的等差數(shù)列，故可得通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）利用從100℃開始第一次量細(xì)棒的長度，以后每升高40℃量一次，可得等差數(shù)列，利用（Ⅱ）的結(jié)論，考慮求得函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅳ）根據(jù)△l=

500-60

40000

+2-（

-30-60

40000

+2）=

53

4000

，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)圖象，可知第3次量得金屬棒的長度是2.003；此時(shí)金屬棒的溫度是100+2×40=180°C
（Ⅱ）{l_n}組成以2.001為首項(xiàng)，0.001為公差的等差數(shù)列，所以l_n=2.001+（n-1）×0.001=0.001n+2
（Ⅲ）∵t=100+40（n-1）=40n+60
∴n=

t-60

40

∴l(xiāng)_n=0.001n+2=

t-60

40000

+2；
（Ⅳ）△l=

500-60

40000

+2-（

-30-60

40000

+2）=

53

4000

∴兩塊金屬板之間至少要留出

53

2000

米的空隙．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列模型的運(yùn)用，考查學(xué)生的讀圖能力，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建等差數(shù)列模型．