Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)m的取值菹圍；
（3）證明：當(dāng)a=0時，．

Answer 1

（1） 參考解析；（2）；（3）參考解析

試題分析：（1）由于 ，．需求的單調(diào)區(qū)間，通過對函數(shù)求導(dǎo)，在討論的范圍即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）本小題可等價轉(zhuǎn)化為，求實(shí)數(shù)m的取值菹圍，使得有解，等價于小于函數(shù)，的最小值．所以對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的解析式，通過應(yīng)用基本不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最小值．即可得到結(jié)論．
（3）由于當(dāng)時，．本小題解法通過構(gòu)造．即兩個函數(shù)與的差，通過等價證明函數(shù)的最小值與函數(shù)的最大值的差大于2．所以對兩個函數(shù)分別研究即可得到結(jié)論．
（1） 的定義域是，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，解得．則當(dāng)時． ，所以單調(diào)遞增．當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
（2）由題意：有解，即有解，因此只需有解即可，設(shè)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045825612909.png" style="vertical-align:middle;" />，且時，所以，即．故在上遞減，所以故．
（3）當(dāng)時，，與的公共定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045825098535.png" style="vertical-align:middle;" />，，設(shè)，．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045825987755.png" style="vertical-align:middle;" />，在單調(diào)遞增． ．又設(shè)，，．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以為的極大值點(diǎn)，即．故．