Question

（2006•崇文區(qū)一模）為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)是否在直線y=x上”這個(gè)課題，我們可以分三步進(jìn)行研究：
（I）首先選取如下函數(shù)：y=2x+1，y=

2x

x+1

，y=-

x+1

求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)：y=2x+1與其反函數(shù)y=

x-1

2

的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）y=

2x

x+1

與其反函數(shù)y=

x

2-x

的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（1，1）y=-

x+1

與其反函數(shù)y=x²-1，（x≤0）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

1- 5

2

，

1- 5

2

），（-1，0），（0，-1）
（II）觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；
（III）對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行證明．現(xiàn)在，請(qǐng)你完成（II）和（III）．

Answer 1

分析：（II）原函數(shù)的圖象與反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)不一定在直線y=x上．
（III）設(shè)（a，b）是f（x）的圖象與其反函數(shù)的圖象的任一點(diǎn)，由于原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則（b，a）也是f（x）的圖象與反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，且b=f（a），a=f（a），若a＞b時(shí)，交點(diǎn)顯然在y=x上．由此進(jìn)行分類討論知：f（x）單調(diào)遞增，且f（x）的圖解與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)在y=x上；f（x）單調(diào)遞減，且f（x）的圖解與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)不在y=x上．

解答：（II）解：原函數(shù)的圖象與反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)不一定在直線y=x上．
（III）證明：設(shè)（a，b）是f（x）的圖象與其反函數(shù)的圖象的任一點(diǎn)，
由于原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
則（b，a）也是f（x）的圖象與反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，
且b=f（a），a=f（a），
若a＞b時(shí)，交點(diǎn)顯然在y=x上．
若a＜b，且f（x）是增函數(shù)時(shí)，有f（b）＜f（a），從而b＜a．矛盾；
若b＜a，且f（x）是增函數(shù)時(shí)，有f（a）＜f（b），從而a＜b．矛盾；
若a＜b，且f（x）是減函數(shù)時(shí)，有f（b）＜f（a），從而a＜b．此時(shí)交點(diǎn)不在y=x上；
若b＜a，且f（x）是減函數(shù)時(shí)，有f（a）＜f（b），從而b＜a．此時(shí)交點(diǎn)不在y=x上．
綜上所述，f（x）單調(diào)遞增，且f（x）的圖解與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)在y=x上；f（x）單調(diào)遞減，且f（x）的圖解與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)不在y=x上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查原函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固