Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為右支上一點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足

F1Q

=λ₁

QP

（λ₁＞0）且|

F1Q

|=2a，雙曲線上的點(diǎn)T滿足：

F2T

=λ₂

TQ

，

PT

•

F2Q

=0，則|OT|的值為（　�。�

• A、4a
• B、2a
• C、a
• D、

  a

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合題意|

F1Q

|=2a證出

|PQ|

=

|PF2|

，即△PQF₂是等腰三角形．由

PT

•

F2Q

=0得

PT

⊥

F2Q

，
所以PT是等腰△PQF₂底邊上的中線，從而證出OT是△QF₁F₂的中位線，可得|OT|的值為a．

解答： 解：∵點(diǎn)P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上，
∴根據(jù)雙曲線的定義，可得

|PF1|

-

|PF2|

=2a，
又∵|

F1Q

|=2a，可得

|PF1|

-

|PQ|

=2a，
∴

|PQ|

=

|PF2|

，即△PQF₂是等腰三角形．
∵

PT

•

F2Q

=0，可得

PT

⊥

F2Q

，
∴PT是等腰△PQF₂底邊上的中線，
因此△QF₁F₂中，OT是中位線，可得|OT|=

1

2

|F1Q|=a．
故選：C

點(diǎn)評：本題給出雙曲線滿足的條件，求線段OT的長．著重考查了雙曲線的定義及簡單幾何性質(zhì)、向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．