Question

【題目】已知函數(shù).（）

（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，再通過不等式恒成立條件求解即可

（2）令，根據(jù)在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方轉(zhuǎn)化成在區(qū)間上恒成立，求得，分別對和進(jìn)行分類討論，結(jié)合正負(fù)判斷單調(diào)性，再結(jié)合恒成立問題進(jìn)一步求解即可

解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則在區(qū)間上恒成立．

即，而當(dāng)時(shí)，，故．

所以．

（2）令，定義域?yàn)?/span>.

在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價(jià)于在區(qū)間上恒成立.

∵

①若，令，得極值點(diǎn)，，

當(dāng)，即時(shí)，在（，+∞)上有，此時(shí)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；

當(dāng)，即時(shí)，同理可知，在區(qū)間上，

有，也不合題意；

②若，則有，此時(shí)在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是

綜合①②可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在直線下方.