Question

15．若函數(shù)f（x）=ax³+（a-2）x²+$\frac{1}{3}$x+b存在極小值，則實數(shù)a的取值范圍為a＞4或a＜1且a≠0．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，a=0時，不合題意，a≠0時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2（a-2）x+$\frac{1}{3}$，
a=0時，f′（x）=-4x+$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{12}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{12}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{12}$）遞增，在（$\frac{1}{12}$，+∞）遞減，無極小值，
故a=0舍，
a≠0時，f′（x）是二次函數(shù)，
若函數(shù)f（x）存在極小值，
只需△=4（a-2）²-4a＞0，
解得：a＞4或a＜1，
綜上，a＞4或a＜1且a≠0，
故答案為：a＞4或a＜1且a≠0．

點評 本題考查了函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．