Question

已知：f（x）=2cos²x+（a∈R，a）為常數(shù)）．
（I）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在x∈上最大值與最小值之和為3，求a的值；
（Ⅲ）在（2）條件下f（x）先按平移后再經(jīng)過伸縮變換后得到y(tǒng)=sinx．求．

Answer 1

解：f（x）=2cos²x+=（cos2x+1）+=
∴…（3分）
（1）函數(shù)的最小正周期…（4分）
（2）根據(jù)題意，
∴…（6分）
即，
∵最大值與最小值之和為3，
∴2a+3=3?a=0…（7分）
（3）由（2）得
∴函數(shù)y=f（x）先向右平移單位，再向下平移1個(gè)單位，可得y=2sin2x的圖象…（9分）
最后將y=2sin2x圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變換為原來(lái)的，可得y=sinx的圖象，
∴向量…（12分）
分析：（I）將函數(shù)解析式降冪，再用輔助角公式合并，得到，用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期的結(jié)論，可得f（x）的最小正周期；
（II）根據(jù)題意，得到，從而有，得到函數(shù)f（x）的最大、最小值的和為2a+3=3，得到a的值為0；
（Ⅲ）在（2）條件下f（x）先向右平移單位，再向下平移1個(gè)單位，可得y=2sin2x的圖象，由此可得向量坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期及其求法，以及三角函數(shù)的最值．熟練運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式把f（x）化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．