Question

已知等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且滿足a₄•a₇=15，a₃+a₈=8
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

an

3n-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)和題意得

a4•a7=15 a4+a7=8

，求出a₄=3、a₇=5，利用等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式求出公差d、a₁，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)；
（2）由（1）和題意求出b_n，據(jù)其特點(diǎn)是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
由題意得，a₄•a₇=15，a₃+a₈=8，則

a4•a7=15 a4+a7=8

，
又等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則解得a₄=3，a₇=5，
所以d=

a7-a4

7-4

=

2

3

，且a₄=a₁+3d，解得a₁=1，
則a_n=a₁+（n-1）d=

2n+1

3

；
（2）由（1）得，b_n=

an

3n-1

=

2n+1

3n

，
所以S_n=

3

31

+

5

32

+

7

33

+…+

2n+1

3n

，①

1

3

S_n=

3

32

+

5

33

+

7

34

+…+

2n+1

3n+1

，②
①-②得，

2

3

Sn=1+2（

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）-

2n+1

3n+1

=1+2×

1 32 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n+1

3n+1

=

4

3

-

2n+4

3n+1

，
所以S_n=2-

n+2

3n

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)公式，數(shù)列求和方法：錯位相減法求和，考查化簡、運(yùn)算能力，屬于中檔題．