Question

5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過BC中點D作平行于AC的直線l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A點處的切線于P，若PE=3，ED=2，EF=3，則PA的長為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)DE∥AC利用平行線的性質(zhì)，證出AE=BE且∠BDE=∠C．再由弦切角定理證出∠BDE=∠PAE，從而得出∠BED=∠PEA，可得△BED∽△PEA，最后利用題中數(shù)據(jù)計算線段的比，即可算出PA的長．

解答 解：∵D是BC的中點，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．
又∵PA切圓O于點A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．
∵∠BED=∠PEA，
∴△BED∽△PEA，可得$\frac{ED}{AE}$=$\frac{BE}{PE}$，
∴AE²=BE•AE=PE•ED=6．
由此解出AE=$\sqrt{6}$．
由相交弦定理知AE²=GE•EF，
∴GE=2，
∴PG=1，
∴PA²=PG•PF=6，
∴PA=$\sqrt{6}$．
故選：B．

點評 本題給出圓滿足的條件，求線段PA的長．著重考查了弦切角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是綜合性題目．