Question

【題目】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC的中點.將△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，連接AE，AC，DE，得到三棱錐A－BCD.

（1）求證：平面ABD⊥平面BCD

（2）若AD=1，二面角C－AB－D的余弦值為，求二面角B－AD－E的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由AB⊥AC和AB⊥AD，可得AB⊥平面ADC，所以AB⊥CD，而BD⊥DC，所以CD⊥平面ADB，從而可證得平面ABD⊥平面BCD；

（2）由AB⊥平面ADC，可知二面角C－AB－D的平面角為∠CAD，由二面角C－AB－D的余弦值為，解出AB，建立空間直角坐標系D-xyz，求出平面ABD的法向量，平面AED的法向量，即可得二面角B－AD－E的正弦值

（1）證明：因為直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，

所以AB⊥AD，

因為AB⊥AC，，所以AB⊥平面ADC，

所以AB⊥CD，

因為BD⊥DC， ,

所以CD⊥平面ADB，

因為CD在平面BCD內，

所以平面ABD⊥平面BCD

（2）由（1）知AB⊥平面ADC，

所以二面角C－AB－D的平面角為∠CAD，

因為CD⊥平面ADB，所以AD⊥CD，

所以,得,所以,

設，則，

由題意可知,所以，即，解得，

所以，

如圖所示，建立空間直角坐標系D-xyz，則

,

所以,

因為CD⊥平面ADB，所以令平面ADB的法向量為，

設平面AED的法向量為，則

，即，

取，則，

設二面角B－AD－E的平面角為，

則，

所以，

所以二面角B－AD－E的正弦值為，