已知數(shù)列的首項(xiàng)其中令集合.
(Ⅰ)若是數(shù)列中首次為1的項(xiàng),請(qǐng)寫(xiě)出所有這樣數(shù)列的前三項(xiàng);
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.
(Ⅰ)27,9,3;8,9,3;6,2,3..(Ⅱ)見(jiàn)解析. (Ⅲ)集合重元素個(gè)數(shù)的最大值為21.

試題分析:(Ⅰ)依次代入寫(xiě)出27,9,3;8,9,3;6,2,3.
(Ⅱ)根據(jù)須討論被3除余1,,被3除余2,被3除余0,等三種情況.
(Ⅲ)注意由已知遞推關(guān)系推得數(shù)列滿(mǎn)足:
當(dāng)時(shí),總有成立,其中.
因此應(yīng)注意討論當(dāng)時(shí),數(shù)列中大于3的各項(xiàng):
按逆序排列各項(xiàng),構(gòu)成的數(shù)列記為,由(Ⅰ)可得或9,
由(Ⅱ)的證明過(guò)程即可知數(shù)列的項(xiàng)滿(mǎn)足:
,且當(dāng)是3的倍數(shù)時(shí),若使最小,需使,
滿(mǎn)足最小的數(shù)列中,或7,且,
得到數(shù)列是首項(xiàng)為的公比為3的等比數(shù)列,應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)論.
解答本題的關(guān)鍵是注意“轉(zhuǎn)化”成等比數(shù)列問(wèn)題.
試題解析:(Ⅰ)27,9,3;8,9,3;6,2,3.                                      3分
(Ⅱ)若被3除余1,則由已知可得,
被3除余2,則由已知可得,,;
被3除余0,則由已知可得,;
所以
所以
所以,對(duì)于數(shù)列中的任意一項(xiàng),“若,則”.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023909536505.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.
所以數(shù)列中必存在某一項(xiàng)(否則會(huì)與上述結(jié)論矛盾。
,則;若,則,若,則,
由遞推關(guān)系易得.                                  8分
(Ⅲ)集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為21.
由已知遞推關(guān)系可推得數(shù)列滿(mǎn)足:
當(dāng)時(shí),總有成立,其中.
下面考慮當(dāng)時(shí),數(shù)列中大于3的各項(xiàng):
按逆序排列各項(xiàng),構(gòu)成的數(shù)列記為,由(I)可得或9,
由(Ⅱ)的證明過(guò)程可知數(shù)列的項(xiàng)滿(mǎn)足:
,且當(dāng)是3的倍數(shù)時(shí),若使最小,需使,
所以,滿(mǎn)足最小的數(shù)列中,或7,且,
所以,所以數(shù)列是首項(xiàng)為的公比為3的等比數(shù)列,
所以,即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023910207655.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,當(dāng)時(shí),的最大值是6,
所以,所以集合重元素個(gè)數(shù)的最大值為21.        13分
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已知數(shù)列滿(mǎn)足
(1)求的通項(xiàng)公式;
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在正項(xiàng)等比數(shù)列中,,,則滿(mǎn)足的最大正整數(shù)的值為        .

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設(shè)首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則(   )
A.B.C.D.

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若等比數(shù)列的前項(xiàng)n和為,且,則      .

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數(shù)列 的首項(xiàng)為1,數(shù)列為等比數(shù)列且,若,則(   )
A.20B.512C.1013D.1024

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