Question

已知函數(shù)f（x=（x-2）（|x-2|-2）+2．
（1）若函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實數(shù)a的值；
（2）對任意的x₁、x₂∈[1，a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤3，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）運用去絕對值的方法，討論①若a≤2，②若a＞2時，且a≤3，③若a＞3，結合二次函數(shù)的單調性，解方程即可得到；
（2）任意的x₁、x₂∈[1，a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤3，等價為|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min≤3，討論①若a≤2，②若a＞2時，且a≤3，③若a＞3，結合二次函數(shù)的單調性求得最值，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（x-2）（|x-2|-2）+2，
當x≥2時，f（x）=（x-2）（x-4）+2=x²-6x+10，
則f（x）在2≤x≤3上遞減，x＞3時遞增；
當x＜2時，f（x）=-x（x-2）+2=-x²+2x+2，
則f（x）在1＜x＜2時遞減，x＜1時遞增．
由于函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]，
則有①若a≤2，區(qū)間[1，a]則為減區(qū)間，f（1）=a，f（a）=1，
則-1+2+2=a，-a²+2a+2=1，解得，a無解．
②若a＞2時，且a≤3，區(qū)間[1，a]則為減區(qū)間，f（1）=a，f（a）=1，
則3=a，a²-6a+10=1，解得，a=3．
③若a＞3，則在[1，2]遞減，[2，3]遞減，（3，a]遞增，
則有f（3）最小且為1，由f（a）=a，或f（1）=a，
解得，a=3，（舍去）或a=2（舍去）
或5，a=5有f（5）=5成立．
不成立．
故a=3或5；
（2）任意的x₁、x₂∈[1，a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤3，
等價為|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min≤3，
①若a≤2，則區(qū)間[1，a]則為減區(qū)間，則有f（1）-f（a）=3-（-a²+2a+2）
=a²-2a+1≤3，解得，1-

3

≤a≤2；
②若a＞2時，且a≤3，區(qū)間[1，a]則為減區(qū)間，則有f（1）-f（a）=3-（a²-6a+10）
≤3，解得，2＜a≤3；
③若a＞3，則在[1，2]遞減，[2，3]遞減，（3，a]遞增，
則f（3）最小且為1，由于f（1）=3，f（3+

2

）=3，
若a≤3+

2

，則最大為f（1），則3-1＜3成立，
若a＞3+

2

，則有最大為f（a），由a2-6a+10-3≤3，解得，3+

2

≤a≤3+

5

．
綜上可得，a的取值范圍是：1-

3

≤a≤3+

5

．

點評：本題考查絕對值函數(shù)的定義域和值域問題，轉化為二次函數(shù)的值域問題，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯題．