Question

已知命題p：“x∈[-2，-

2

]時(shí)，x²-a≥0恒成立”；命題q：“方程x²+（a-3）x+a=0無(wú)實(shí)數(shù)根”．若“p∧q”是假命題，且“p∨q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：本題的關(guān)鍵是給出p命題p：“x∈[-2，-

2

]時(shí)，x²-a≥0恒成立”和命題q：“方程x²+（a-3）x+a=0無(wú)實(shí)數(shù)根”為真時(shí)a的取值范圍，在根據(jù)p，q一真一假，確定a的取值范圍

解答： 解：∵命題p：“x∈[-2，-

2

]時(shí)，x²-a≥0恒成立”；
∴若p為真，那么x∈[-2，-

2

]時(shí)，a≤x²恒成立
∴a≤2
又∵命題q：“方程x²+（a-3）x+a=0無(wú)實(shí)數(shù)根”．
∴若q為真，那么△=（a-3）²-4a=a²-10a+9＜0
∴1＜a＜9
∵p∧q”是假命題，且p∨q是真命題
∴p，q一真一假
①若p為真，q為假
則

a≤2 a≥9或a≤1

∴a≤1
②若p為假，q為真
則

a＞2 1＜a＜9

∴2＜a＜9
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]∪（2，9）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷．