Question

已知B為拋物線y²=2px（p＞0）上的動點（除頂點），過B作拋物線準線的垂線，垂足計
為C．連接CO并延長交拋物線于A，（O為原點）
（1）求證AB過定點Q．
（2）若M（1，），試確定B點的位置，使|BM|+|BQ|取得最小值，并求此最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)B點坐標為（，y_B），則C為（-，y_B），那么直線CO的方程為y=，與拋物線聯(lián)立，求解，得A點坐標為（ ），故直線AB的方程為 2py_Bx-（y_B²-p²）y-p²•y_B=0，由此能夠求出直線AB過定點Q（，0）．
（2）由Q為拋物線焦點，知|BQ|=|BC|，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，知B點坐標為（）時，|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，由此能求出其最小值．
解答：解：（1）設(shè)B點坐標為（，y_B），則C為（-，y_B）
那么直線CO的方程為y=，
與拋物線聯(lián)立，求解，得A點坐標為（ ），
故直線AB的方程為 2py_Bx-（y_B²-p²）y-p²•y_B=0，
令x=，則y=0，
故直線AB過定點Q（，0）．
（2）由（1）得，Q為拋物線焦點，
故|BQ|=|BC|，
根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，從而當y_B= 時，即B（）時，
|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，
最小值為+1．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．