(本小題滿分12分)
已知函數(shù),若,則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”;若,則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”。記集合
(1)已知,若是在上單調(diào)遞增函數(shù),是否有?若是,請證明。
(2)記表示集合中元素的個(gè)數(shù),問:
若函數(shù),若,則是否等于0?若是,請證明
若,試問:是否一定等于1?若是,請證明
(1) (2),是不一定等于1。
解析試題分析:(1)證明:先證 任取,則
再證 任取
若,不妨設(shè)
由單調(diào)遞增可知: 與 矛盾
同理也矛盾,所以
綜上:
(2)①若 由于無實(shí)根 則對任意實(shí)數(shù)x,
從而 故無實(shí)根
同理若對任意實(shí)數(shù)x, ,從而
故也無實(shí)根
②不妨設(shè)是B中唯一元素 則
令 那么 而
故 說明t也是的不動(dòng)點(diǎn)
由于 只有唯一的不動(dòng)點(diǎn) 故 即
這說明t也是的不動(dòng)點(diǎn),從而存在性得證
以下證明唯一性:若還有另外一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)m,即
則 這說明還有另外一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)m
與題設(shè)矛盾。
考點(diǎn):本試題考查了函數(shù)的新定義的運(yùn)用。
點(diǎn)評:結(jié)合新定義,和已學(xué)的函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),來分析函數(shù)的最值, 同時(shí)對于不動(dòng)點(diǎn)的問題,要加以轉(zhuǎn)化為方程根的問題來處理,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},
C={x|x2+2x-8=0}.
(Ⅰ)若A=B,求a的值;
(Ⅱ)若A∩B,A∩C=,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
(1)設(shè)集合A={},B={},求集合,;
(2)已知集合,, 求非零實(shí)數(shù)的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,函數(shù)的值域?yàn)锽。
(Ⅰ)求A、B;
(Ⅱ)求設(shè),求.
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