Question

已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
（1）用向量法證明E，F(xiàn)，G，H（2）四點(diǎn)共面；
（2）用向量法證明：BD∥平面EFGH；
（3）設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn)O，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）用向量的加法求出，即可證明E，F(xiàn)，G，H（2）四點(diǎn)共面；
（2）用向量表示，就證明EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH，所以BD∥平面EFGH；
（3）M是EG和FH的交點(diǎn)，利用推出EG、FH交于一點(diǎn)M且被M平分，然后推出．
解答：證明：（1）連接BG，則
=
由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，（其中）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180901492387205/SYS201310241809014923872010_DA/7.png">．
所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD不在 面EFGH
所以BD∥平面EFGH．
（3）連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG
由（2）知，同理，所以，
EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一點(diǎn)M且被M平分，
所以
=
點(diǎn)評：本題考查向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系，共線向量與共面向量，考查運(yùn)算能力，是中檔題．