已知函數(shù).其中.
(1)若曲線y=f(x)與y=g(x)在x=1處的切線相互平行,求兩平行直線間的距離;
(2)若f(x)≤g(x)-1對任意x>0恒成立,求實數(shù)的值;
(3)當(dāng)<0時,對于函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)+1,記在h(x)圖象上任取兩點A、B連線的斜率為,若,求的取值范圍.
(1) ;(2)2; (3)
解析試題分析:(1)因為曲線y=f(x)與y=g(x)在x=1處的切線相互平行,所以分別對這兩個函數(shù)求導(dǎo),可得導(dǎo)函數(shù)在x=1處的斜率相等,即可求出的值以及求出兩條切線方程.再根據(jù)平行間的距離公式求出兩切線的距離.
(2) 由f(x)≤g(x)-1對任意x>0恒成立,所以構(gòu)造一個新的函數(shù),在x>0時求出函數(shù)的最值符合條件即可得到的范圍.
(3)根據(jù)(2)所得的結(jié)論當(dāng)當(dāng)<0時,由(2)知<0,∴h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以根據(jù)可以得到函數(shù)與變量的關(guān)系式,從而構(gòu)造一個新的函數(shù),得到的范圍.
試題解析:(1),依題意得: ="2;"
曲線y=f(x)在x=1處的切線為2x-y-2=0,
曲線y=g(x)在x=1處的切線方程為2x-y-1=0.兩直線間的距離為
(2)令h(x)=f(x)-g(x)+1, ,則
當(dāng)≤0時, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,又h(1)=0,故0<x<1時,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,與題設(shè)矛盾.
當(dāng)>0時,
當(dāng),當(dāng)時,
所以h(x)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),
∴h(x)≤
因為h(1)=0,又當(dāng)≠2時,≠1,與不符.所以=2.
(3)當(dāng)<0時,由(2)知<0,∴h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
不妨設(shè)0<x1≤x2,則|h(x1)-h(huán)(x2)|=h(x1)-h(huán)(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|h(x1)-h(huán)(x2)|≥|x1-x2|
等價于h(x1)-h(huán)(x2)≥x2-x1,即h(x1)+x1≥h(x2)+x2,令H(x)=h(x)+x=lnx-x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
∵ (x>0),∴-2x2+x+≤0在x>0時恒成立,∴≤(2x2-x)min又x>0時, (2x2-x)min=
∴a≤-,又a<0,∴a的取值范圍是.
考點:1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.含參數(shù)的不等式恒成立問題.3.函數(shù)方程間的等價變化轉(zhuǎn)化為熟悉的問題從而解決問題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1
(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由;
(3)證明f(x)=x3-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),(>0,,以點為切點作函數(shù)圖象的切線,記函數(shù)圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積為.
(1)求;
(2)求證:<;
(3)設(shè)為數(shù)列的前項和,求證:<.來
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=時,判斷方程f(x)=-的實數(shù)根的個數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(1)=,且函數(shù)f(x)在上不存在極值點,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=lnx+ax(a∈R).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=x2-4x+2,若對任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ln ax- (a≠0).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值;
(2)求證:對于任意正整數(shù)n,均有1+(e為自然對數(shù)的底數(shù));
(3)當(dāng)a=1時,是否存在過點(1,-1)的直線與函數(shù)y=f(x)的圖象相切?若存在,有多少條?若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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