Question

在環(huán)保知識有獎問答比賽中，甲、乙、丙同時回答一道有關(guān)水體凈化知識的問題，甲答對的概率是，甲、丙兩人都打錯的概率是，乙、丙兩人都答對的概率是．
求：（1）乙、丙兩人各自答對這道題目的概率．
（2）（理做）答對這道題目的人數(shù)的隨機變量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出乙和丙答對的概率，根據(jù)甲答對的概率是，甲、丙兩人都打錯的概率是，乙、丙兩人都答對的概率是，列出關(guān)于兩個概率的關(guān)系式，就方程組即可．
（2）（理）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，4，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量的概率，寫出分布列和期望值．
（文）由題意知甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目包括四種情況，這四種情況是互斥的，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式寫出結(jié)果．
解答：解：（1）設(shè)乙、丙各自答對的概率分別是P₁、P₂，
根據(jù)題意得：
，解得：P₁=．P₂=；           
（2）（理科）ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=××=，
P（ξ=1）==；              （9分）
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==
所以ξ的分布列為                                      （10分）

ξ		1	2	3
P

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．（12分）
（文科）由題意知甲、乙、丙三人中至少有兩人答對這道題目包括四種情況，
這四種情況是互斥的，
∴P=+=
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，本題解題的關(guān)鍵是注意數(shù)字的運算不要出錯，因為題目中出現(xiàn)的數(shù)字較多．