(本小題共14分)

  四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB//CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=,∠ACB=90°。

 。↖)求證:BC⊥平面PAC;

 。↖I)求二面角D—PC—A的大;

  (III)求點(diǎn)B到平面PCD的距離。

  

,


解析:

 解法一:

  證明:(I)∵PA⊥底面ABCD,平面ABCD,

  ∴PA⊥BC

  ∵∠ACB=90°

  ∴BC⊥AC

  又

  ∴BC⊥平面PAC                4分

  解:(II)∵AB//CD,∠DAB=120°

  ∴∠ADC=60°,又AD=CD=1

  ∴△ADC為等邊三角形,且AC=1       5分

  取AC的中點(diǎn)O,則DO⊥AC

  ∵PA⊥底面ABCD

  ∴PA⊥DO

  ∴DO⊥平面PAC

  過O作OH⊥PC,垂足為H,連DH,由三垂線定理知DH⊥PC

  ∴∠DHO為二面角D—PC—A的平面角             7分

  由                 8分

  

  ∴二面角D—PC—A的大小為arctan2              9分

 。↖II)設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為d

  ∵AB//CD,平面PCD

  ∴AB//平面PCD

  ∴點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離      11分

                          13分

                               14分

  

  解法二:

  證明:(I)同解法一                        4分

  解:(II)取CD的中點(diǎn)E,則AE⊥CD

  ∴AE⊥AB

  又PA⊥底面ABCD,底面ABCD

  ∴PA⊥AE                           5分

  建立空間直角坐標(biāo)系,如圖。則

A(0,0,0),

  

                   7分

  設(shè)為平面PAC的一個法向量

  為平面PDC的一個法向量,則

  

  可取;

  ,可取  9分

                 10分

  

  故所求二面角的大小為              11分

 。↖II)又B(0,2,0),               12分

  由(II)取平面PCD的一個法向量

  ∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為

                              13分

                         14分

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 。1)如果在該公司干10年,問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元?
  (2)如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 元,問 取何值時,選                                 擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪?

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