Question

8．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，0）$，橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（1）求橢圓C的方程； 
（2）設(shè)直線y=kx+b與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2，△AOB的面積S=1，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$．（a＞b＞0），由題意可得c=$\sqrt{3}$，將P的坐標(biāo)代入橢圓方程，由a，b，c的關(guān)系可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由|AB|=2，△AOB的面積S=1，可得O到直線AB的距離為2，即b²=1+k²．由弦長(zhǎng)公式表示|AB|=2，即可求出直線的斜率k．，b．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$．（a＞b＞0）∵$\left\{{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{{a^2}-{b^2}=3}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=1}\\{{c^2}=3}\end{array}}\right.⇒\begin{array}{l}{∴橢圓的方程為}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}$…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O點(diǎn)到AB的距離為d，則由$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=2$，則d=2，
又由距離公式$\frac{|b|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，則b²=1+k²．…①…（6分）
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}}\right.⇒（1+4{k^2}）{x^2}+8kbx+4{b^2}-4=0$，即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{-8kb}{{1+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{4{b^2}-4}}{{1+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，…（8分）

則$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{-8kb}{{1+4{k^2}}}）}^2}-4•\frac{{4{b^2}-4}}{{1+4{k^2}}}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{4（16{k^2}+4-4{b^2}）}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}$②
把②代入①，化簡(jiǎn)可以得到4k⁴-4k²+1=0，即${k^2}=\frac{1}{2}$，且${b^2}=\frac{3}{2}$，…（11分）
則直線AB的方程為$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，屬于中檔題．