Question

已知函數(shù)f(x)=2x-

1

2|x|

．
（1）設(shè)集合A={x|f(x)≤

15

4

}，B={x|x²-6x+p＜0}，若A∩B≠∅，求實數(shù)p的取值范圍；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）當x≥0時，f（x）≤

15

4

，即2x-

1

2x

≤

15

4

，解得0≤x≤2；
當x＜0時，f（x）≤

15

4

即0≤

15

4

成立，
綜上，f（x）≤

15

4

的解集為{x|x≤2}，即A=（-∞，2]．
設(shè)g（x）=x²-6x+p，
因為A∩B≠∅，所以g（2）＜0，即4-6×2+p＜0，解得p＜8，
所以實數(shù)p的取值范圍為：（-∞，8）．
（2）因為t∈[1，2]，所以f（t）=2t-

1

2t

，
2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，即2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0恒成立，
即（2t-

1

2t

）（2^2t+1+m）≥0，
因為2^2t-1≥3，所以2^2t+1+m≥0恒成立，即m≥-（1+2^2t），
因為t∈[1，2]，所以-（1+2^2t）∈[-17，-5]，則m≥-5．
故實數(shù)m的取值范圍為[-5，+∞）．