7.已知函數(shù)$f(x)={e^x}(alnx+\frac{2}{x}+b)$,其中a,b∈R.e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=e(x-1).求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)①若a=-2時(shí),函數(shù)y=f(x)既有極大值,又有極小值,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
②若a=-2,b≥-2.若f(x)≥kx對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍(用b表示).

分析 (1)求出函數(shù) 到底是,得到關(guān)于a,b的方程組,解出即可;
(2)①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而判斷出函的極大值和極小值,進(jìn)而求出b的范圍即可;
②問題轉(zhuǎn)化為${e^x}({alnx+\frac{2}{x}+b})≥(2+b)ex$對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,只需證明ex≥ex,再證$lnx+\;\frac{1}{x}≥\;1$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

解答 解:(1)由題意知曲線y=f(x)過點(diǎn)(1,0),且f'(1)=e;
又因?yàn)?f'(x)={e^x}({alnx-\frac{2}{x^2}+\frac{a+2}{x}+b})$,
則有$\left\{\begin{array}{l}f(1)=e(2+b)=0\\ f'(1)=e(a+b)=e\end{array}\right.$解得a=3,b=-2…(4分)
(2)①當(dāng)a=-2時(shí),函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)={e^x}({-2lnx-\frac{2}{x^2}+b})=0$,
若f'(x)=0時(shí),得$b=2lnx+\frac{2}{x^2}$,
設(shè)$g(x)=2lnx+\frac{2}{x^2}$(x>0).
由$g'(x)=\frac{2}{x}-\frac{4}{x^3}=\frac{{2{x^2}-4}}{x^3}$=0,得$x=\sqrt{2}$,$g(\sqrt{2})=1+ln2$…(6分)
當(dāng)$0<x<\sqrt{2}$時(shí),g'(x)<0,函數(shù)y=g(x)在區(qū)間$(0,\sqrt{2})$上為減函數(shù),g(x)∈(1+ln2,+∞);僅當(dāng)b>1+ln2時(shí),b=g(x)有兩個(gè)不同的解,設(shè)為x1,x2(x1<x2).

x(0,x1x1(x1,x2x2(x2,+∞)
f'(x)-0+0-
f(x)極大值極小值
此時(shí),函數(shù)y=f(x)既有極大值,又有極小值…(9分)
②由題意${e^x}({alnx+\frac{2}{x}+b})≥kx$對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,
取x=1得k≤(2+b)e.
下證${e^x}({alnx+\frac{2}{x}+b})≥(2+b)ex$對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立…(12分)
首先,證明ex≥ex.設(shè)函數(shù)u(x)=ex-ex,則u'(x)=ex-e,
當(dāng)x>1時(shí),u'(x)>0;
當(dāng)x<1時(shí),u'(x)<0;得ex-ex≥u(1)=0,即ex≥ex,
當(dāng)且僅當(dāng)都在x=1處取到等號(hào).
再證$lnx+\;\frac{1}{x}≥\;1$.設(shè)$v(x)=lnx+\frac{1}{x}-1$,則$v'(x)=\frac{x-1}{x^2}$,當(dāng)x>1時(shí),v'(x)>0;
當(dāng)x<1時(shí),v'(x)<0;得v(x)≥v(1)=0,即$lnx+\;\frac{1}{x}≥\;1$,
當(dāng)且僅當(dāng)都在x=1處取到等號(hào)…(14分)
由上可得${e^x}({alnx+\frac{2}{x}+b})≥(2+b)ex$,所以${({\frac{f(x)}{x}})_{min}}=(2+b)e$,
所以k≤(2+b)e…(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,考查轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

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