17、已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求證:a>0,b>0,c>0.
分析:本題是一個(gè)全部性問題,要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰.于是考慮采用反證法.假設(shè)a,b,c不全是正數(shù),這時(shí)需要逐個(gè)討論a,b,c不是正數(shù)的情形.但注意到條件的特點(diǎn)(任意交換a,b,c的位置不改變命題的條件),我們只要討論其中一個(gè)數(shù)(例如a),其他兩個(gè)數(shù)(例如b,c)與這種情形類似.
解答:•解:假設(shè)a,b,c不全是正數(shù),即其中至少有一個(gè)不是正數(shù).
不妨先設(shè)a≤0.下面分a=0和a<0兩種情況討論.
如果a=0,則abc=0,與abc>0矛盾,所以a=0不可能.
如果a<0,那么由abc>0可得
bc<0.
又因?yàn)閍+b+c>0,所以b+c=-a>0.
于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,
這和已知ab+bc+ca>0相矛盾.
因此,a<0也不可能.
綜上所述,a>0.
同理可證b>0,c>0.
所以原命題成立.
點(diǎn)評(píng):當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),宜用反證法來證.反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是①與已知條件矛盾,②與假設(shè)矛盾,③與定義、公理、定理矛盾,④與事實(shí)矛盾等方面.反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具,是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器.
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A.30°                                  B.45°

C.60°                                  D.以上都不對(duì)

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已知a+b+c>0,abc>0,ab+bc+ca>0.

求證:a>0,b>0,c>0.

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