Question

11．已知函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值為3，f（x）的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值為（　　）

• A． 2468
• B． 3501
• C． 4032
• D． 5739

Answer 1

分析 由條件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ）+1+$\frac{A}{2}$，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的周期性求得所求式子的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=Acos²（ωx+φ）+1=A•$\frac{1+cos（2ωx+2φ）}{2}$+1
=$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ）+1+$\frac{A}{2}$ （A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值為3，
∴$\frac{A}{2}$+1+$\frac{A}{2}$=3，可求：A=2．
∵函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2，可得函數(shù)的最小正周期為4，即：$\frac{2π}{2ω}$=4，
∴解得：ω=$\frac{π}{4}$．
又∵f（x）的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），可得：cos（2φ）+1+1=2，
∴cos2φ=0，2φ=$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{4}$．
∴函數(shù)的解析式為：f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）+2=-sin$\frac{π}{2}$x+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=-（sin$\frac{π}{2}$+sin$\frac{2π}{2}$+sin$\frac{3π}{2}$+…+sin$\frac{2016π}{2}$）+2×2016
=504×0+4032=4032．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，二倍角的余弦公式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，三角函數(shù)的周期性，屬于中檔題．