Question

已知圓x²+y²=8內(nèi)有一點P₀（-1，2），AB為過點P₀且傾斜角為α的弦，設(shè)|AP₀|=m，|BP₀|=n，求m+2n的最小值．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：當AB⊥x軸時，由（-1）²+y²=8，解得y=±

7

，即可得出m+2n．當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的參數(shù)方程為

x=-1+tcosα y=2+tsinα

，代入圓的方程可得：t²+（4sinα-2cosα）t-3=0．解得t=（cosα-2sinα）±

3sin2α-4sinαcosα+4

．不妨設(shè)t₁＞0，t₂＜0．t₁-2t₂=3

3sin2α-4sinαcosα+4

-（cosα-2sinα），2t₁-t₂=3

3sin2α-4sinαcosα+4

+（cosα-2sinα），而3

3sin2α-4sinαcosα+4

=3

11 2 - 5 2 sin(2α+θ)

≥3

3

，tanθ=

3

4

．當?shù)忍柍闪�時，可得tanα=

1

2

或-2．代入計算比較即可．

解答： 解：①當AB⊥x軸時，由（-1）²+y²=8，解得y=±

7

，
取A(-1，

7

)，B(-1，-

7

)，則m+2n=

7

-2+2(2+

7

)=3

7

+2．
取B(-1，

7

)，A(-1，-

7

)，則m+2n=2（

7

-2）+(2+

7

)=3

7

-2．
②當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的參數(shù)方程為

x=-1+tcosα y=2+tsinα

，
代入圓的方程可得：（-1+tcosα）²+（2+tsinα）²=8，
化為t²+（4sinα-2cosα）t-3=0．
∴t=（cosα-2sinα）±

3sin2α-4sinαcosα+4

．
t₁+t₂=2cosα-4sinα，t₁t₂=-3．
不妨設(shè)t₁＞0，t₂＜0．
t₁=（cosα-2sinα）+

3sin2α-4sinαcosα+4

，
t₂=cosα-2sinα-

3sin2α-4sinαcosα+4

∴t₁-2t₂=3

3sin2α-4sinαcosα+4

-（cosα-2sinα），
2t₁-t₂=3

3sin2α-4sinαcosα+4

+（cosα-2sinα），
而3

3sin2α-4sinαcosα+4

=3

11 2 - 5 2 sin(2α+θ)

≥3

3

，tanθ=

3

4

．
此時tan(

π

2

-2α)=

3

4

，∴

cos2α

sin2α

=

3

4

，
化為tanα=

1

2

或-2．
取tanα=

1

2

時，sinα=

1

5

，cosα=

2

5

，此時可知：t₁-2t₂取得最小值3

3

．
取tanα=-2時，sinα=

2

5

，cosα=-

1

5

．此時可知：2t₁-t₂取得最小值為3

3

-

5

．
綜上可得：當tanα=-2時，sinα=

2

5

，cosα=-

1

5

．m+2n=2t₁-t₂取得最小值為3

3

-

5

．

點評：本題考查了直線與圓相交弦長問題、直線的參數(shù)方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．